백준 1019번 책 페이지 - SWIFTAlgorithm/PS2024. 2. 6. 14:18
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문제
지민이는 전체 페이지의 수가 N인 책이 하나 있다. 첫 페이지는 1 페이지이고, 마지막 페이지는 N 페이지이다. 각 숫자가 전체 페이지 번호에서 모두 몇 번 나오는지 구해보자.
입력
첫째 줄에 N이 주어진다. N은 1,000,000,000보다 작거나 같은 자연수이다.
출력
첫째 줄에 0이 총 몇 번 나오는지, 1이 총 몇 번 나오는지, ..., 9가 총 몇 번 나오는지를 공백으로 구분해 출력한다.
문제 링크
1019번: 책 페이지
첫째 줄에 0이 총 몇 번 나오는지, 1이 총 몇 번 나오는지, ..., 9가 총 몇 번 나오는지를 공백으로 구분해 출력한다.
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풀이
가장 처음 생각한 것은 자릿수에 따른 숫자 등장 횟수였다.
1234라는 수를 생각해보자.
1부터 이 수에 도달할 때 까지 1씩 키운다고 하면 한 자리수 부터 세 자리수 까지 모두 등장하게 된다.
만약 각 자리수마다 수가 몇개 나오는 지를 안다면, 우리는 그저 1000부터 1234까지만 세주면 된다.
왜냐면 앞의 수들은 점화식으로 전부 구했을 것이니 말이다.
그렇기 때문에 일단은 점화식부터 구해보자.
점화식
점화식을 구할 때, 0과 0이 아닌 수로 분리해서 따로 구했다.
왜냐면 0은 맨 앞에 올 수 없기 때문에 다른 수들과는 나오는 횟수가 다르기 때문이다.
하지만 나머지 숫자들은 모두 등장횟수가 같을 것이기에 구하기가 쉽다.
0이 아닌 수일 때
그럼 1을 예시로 한 번 구해보자.
일단 한 자리수 일때 1은 당연히 한 번만 등장한다.▼
하지만 두 자리수부터는 약간의 규칙이 나타난다.
1이 나오는 경우는 두가지 경우이다.
- 맨 앞자리가 1일 때
- 맨 앞자리가 1은 아니지만, 뒤의 자리에 등장할 때
이 두 가지 경우를 토대로 1이 들어가는 수의 개수를 세보자.▼
11이 중복되지만, 11에는 1이 두 개 들어가는데 앞에서 한 번 밖에 세주지 않았기에 지금과 같은 방법에서는 이렇게 중복해서 세줘야 1의 개수를 정확히 알 수 있다.
일단 세 자리수까지 구해보자.▼
세 자리수도 결국에는 두 자리수와 한 자리수의 반복일 뿐이다.
이정도 보니 점화식이 나온다.
1이나 2나 9나 다 같은 횟수로 나오니 dp테이블을 똑같이 채워주면 된다.▼
이 때 주의해야할 점은 n자리의 1의 개수이지, 1자리 부터 n자리까지의 1의 개수 합이 아니다.
딱 n자리에서만의 1의 개수이다.
누적합은 따로 구해줘야한다.
0일 때
일단 자연수만 취급하기 때문에 한 자리수에서 0은 없다.▼
두 자리수에서 0이 나오는 수는 별로 없다.▼
하지만 세 자리수부터 생각할 것이 많아진다.
두 자리수에서는 0이 들어갈 자리가 한 칸밖에 안됐는데, 세 자리수에서는 0이 들어갈 자리가 두 칸이 된다.
- 두 칸 다 0인 경우
- 앞에 한 칸만 0인 경우
- 앞에 0인 칸이 없는 경우
따라서, 위 세 가지를 생각해야한다.▼
일단 여기까지 보면 점화식이 잘 보이지 않지만, 하나 알 수 있는 사실은 앞 자리수 1을 기준으로 구한 다음 9배 해주면 된다는 것이다.
앞자리가 뭐건 어차피 0 나오는 횟수는 같다.
이를 토대로 네 자리수 까지 구해보자.▼
계산 방식은 이러하다.▼
이를 일반화 시켜보면, ▼
(dp[1] = 9 이다.)
프로그램 동작
점화식을 구해서 각 자릿수에서 0부터 9까지가 각각 몇번 나오는 지를 구했다면 한 30퍼센트까지 한 것이다.
일단은 각 자릿수에서의 0부터 9까지의 등장횟수의 누적합을 구해서 dp2[]배열에 넣어준다.
나중에 유용하게 쓰인다.
예시와 함께 시작하자.
54321이라는 숫자를 예시로 들겠다.
이 숫자는 5자리이므로, 앞서 구해준 4자릿수의 0부터 9의 등장 횟수 누적합을 답에 더해준다.
그러면 우리는 10000 부터 54321까지 구하면 된다.
앞서 구한 누적합으로 1/5밖에 못구했는데 도대체 뭔 생각인걸까? 할 수 있는데, 이제부터 그 누적합을 적극 이용할 생각이다.
먼저 54321을 10000, 20000, 30000, 40000으로 쪼개준다.▼
앞자리가 1인 10000부터 보자.
그 중에서도 0이 아닌 수부터 세보자.
앞자리가 1이라 1이 10000번 등장한다.
그리고 나머지는 네 자리수까지의 누적합과 똑같다.
그저 한 번 더 더해주면 되는것이다.
문제는 0이다.
지금의 경우에는 앞자리에도 0이 올 수 있는 경우다.
이미 저 앞에 0이 아닌 수가 앞자리를 대처하고 있어서, 뒷 자리 수들은 아무 숫자나 올 수 있다.▼
만약 뒤에 한 자리수가 왔다고 하면, 앞에는 0이 세 개 등장하게 된다.
만약 뒤에 두 자리수가 왔다고 하면, 앞에는 0이 두 개 등장하게 된다.
뭔가 어디서 많이 본 계산 같지 않은가?
맞다, 앞에서 0의 개수 구하는 과정과 같다.▼
똑같이 반복해서 더해주면 된다.
따라서 아래의 두 과정을 반복해주면 된다.
- [0이 아닌 수] 원래 수가 n자리수라면 n-1자리 누적합 더하기
- [0인 수] 0 개수 구하는 과정 반복
하지만 앞자리가 5가 되면 반복을 멈춘다.
반복을 멈추고 앞자리가 5이고 끝자리는 54321이므로 5에 해당하는 인덱스에 4321 + 1을 더해준다.
그리고 앞의 과정을 한 자릿수 줄여서 똑같이 반복해준다.▼
여기서도 마찬가지로 앞자리가 4가되면, 4에 해당하는 인덱스에 321 + 1을 더해주고 한 자릿수 줄여서 다시 해준다.▼
이 과정을 한 자릿수가 될 때 까지 반복해준다.▼
이렇게 해주면 계산 과정을 통째로 스킵할 수 있다.
Swift 코드
import Foundation
let N = readLine()!
var NArr = [Int]()
var dp = Array(repeating: Array(repeating: 0, count: 10), count: N.count + 1)
var dp2 = Array(repeating: Array(repeating: 0, count: 10), count: N.count + 1)
for i in N {
NArr.append(Int(String(i))!)
}
NArr.reverse()
dp[1] = [0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]
if N.count != 1 {
for i in 2...N.count {
var tmp = Array(repeating: 0, count: 10)
for k in 1..<i {
for l in 0..<10 {
tmp[l] += dp[k][l]
}
}
for j in 0..<10 {
if j == 0 {
for l in 0..<i {
if l == 0 {
dp[i][0] += i - 1
} else {
dp[i][0] += (i - l - 1) * 9 * Int(pow(Double(10), Double(l - 1))) + dp[l][0]
}
}
dp[i][0] *= 9
} else {
dp[i][j] = Int(pow(Double(10), Double(i - 1))) + tmp[j] * 9
}
}
}
}
var answer = Array(repeating: 0, count: 10)
for i in 1...N.count {
for j in 1...i {
for k in 0..<10 {
dp2[i][k] += dp[j][k]
}
}
}
for i in stride(from: NArr.count, to: 0, by: -1) {
if i == 1 {
for j in 0...NArr[0] {
answer[j] += 1
}
break
}
answer[NArr[i - 1]] += (Int(N)! % Int(pow(Double(10), Double(i - 1))) + 1)
for j in 0..<NArr[i - 1] {
if j == 0 {
for k in 0..<10 {
if i != NArr.count && k == 0 {
continue
}
answer[k] += dp2[i - 1][k]
}
if i != NArr.count {
answer[0] += Int(pow(Double(10), Double(i - 1)))
for k in 0..<i {
if k == 0 {
answer[0] += i - 1
} else {
answer[0] += (i - k - 1) * 9 * Int(pow(Double(10), Double(k - 1))) + dp[k][0]
}
}
}
} else {
answer[j] += Int(pow(Double(10), Double(i - 1)))
for k in 0..<i {
if k == 0 {
answer[0] += i - 1
} else {
answer[0] += (i - k - 1) * 9 * Int(pow(Double(10), Double(k - 1))) + dp[k][0]
}
}
for k in 1..<10 {
answer[k] += dp2[i - 1][k]
}
}
}
}
if N.count == 1 {
answer[0] -= 1
}
print(answer.map { String($0) }.joined(separator: " "))
테스트 케이스
한 번에 맞추긴 했지만, 테스트 케이스가 없었다면 그렇게 못했을 거 같다.
물론 테스트 케이스 없이 하는게 바람직하지만, 기본으로 주어지는 예제가 너무 하찮아서...내가 제대로 풀고 있는 지 확인 할 길이 없어서 다른 분이 만든 테스트 케이스를 구했다.
엄청 많으니까 열 때 조심해서 열길 바람...
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[4853] 1365 2476 2476 2476 2329 1469 1465 1465 1419 1365
[4902] 1373 2481 2481 2480 2383 1480 1480 1480 1480 1383
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[11713] 4441 6974 4542 4542 4541 4541 4541 4455 4441 4441
[11762] 4446 7083 4557 4556 4556 4556 4549 4509 4446 4446
[11811] 4461 7188 4561 4561 4561 4561 4561 4561 4473 4461
[11860] 4466 7298 4576 4576 4576 4576 4567 4566 4527 4466
[11909] 4480 7401 4581 4581 4581 4581 4581 4581 4581 4491
[11958] 4485 7514 4596 4596 4596 4595 4586 4586 4586 4544
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[12056] 4562 7673 4673 4616 4616 4613 4606 4605 4605 4605
[12105] 4616 7733 4727 4621 4621 4621 4620 4620 4620 4620
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[12987] 4788 8887 5887 4899 4899 4899 4899 4899 4896 4876
[13036] 4840 8951 5914 4948 4904 4904 4904 4903 4903 4903
[13085] 4894 9005 5919 5005 4919 4919 4918 4918 4914 4908
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[13232] 4943 9287 5987 5179 4943 4943 4943 4943 4943 4943
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[13379] 4967 9458 6078 5438 4978 4978 4978 4978 4968 4968
[13428] 4982 9522 6092 5512 5012 4983 4983 4983 4983 4982
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[13526] 5002 9640 6110 5630 5103 5030 5003 5002 5002 5002
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[13673] 5027 9812 6138 5812 5137 5137 5111 5031 5027 5027
[13722] 5042 9876 6146 5865 5142 5142 5142 5065 5042 5042
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[13820] 5062 9993 6163 5983 5162 5162 5162 5162 5083 5062
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[18230] 6443 15784 7484 7444 7443 7443 7443 7443 6674 6443
[18279] 6447 15838 7538 7458 7458 7458 7458 7458 6728 6448
[18328] 6462 15902 7572 7492 7463 7463 7463 7463 6792 6462
[18377] 6467 15956 7578 7556 7478 7478 7478 7476 6845 6467
[18426] 6482 16020 7590 7583 7510 7483 7483 7482 6909 6482
[18475] 6487 16074 7598 7598 7574 7498 7497 7493 6963 6487
[18524] 6502 16138 7608 7603 7603 7527 7502 7502 7027 6502
[18573] 6507 16192 7618 7618 7617 7591 7517 7511 7081 6507
[18622] 6522 16256 7626 7622 7622 7622 7545 7522 7145 6522
[18671] 6527 16310 7637 7637 7637 7637 7609 7529 7199 6527
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